octubre

PRIMERA CLASE

Indicaciones generales

SIGUIENTES CLASES

• Nros. Complejos

Forma algebraica      z=x+iy ➜ Real (z)=x

                                         Img(z)=y

Forma rectangular     z(x,y)

Forma polar             z=r𝜽 = | z | = sqrt(x²+y²)

                                𝞱 = arctg (y/x)

Forma trigonométrica       z= r(cos𝛳+isen𝛳)

Siendo    Z=X+iY=(x,y)            ①

r = sqrt(x²+y²)
sen 𝛳 = y/r     entonces y=r sen 𝛳             ②
cos 𝛳 = x/r     entonces x=r cos 𝛳              ③

② y  ③ en  ①
z= r cos𝛳 + i r sen𝛳
z=r(cos𝛳+isen𝛳)  ④

-Forma trigonométrica

cis 𝛳= cos 𝛳+ i sen𝛳                  ⑤

   ⑤ en ④

    z=rcis 𝛳

• Propiedades

IGUALDAD

Sea Z₁=x₁+i y₁    ^   Z₂=x₂+i y₂

 si      Z₁=Z₂     entonces  x₁=x₂  ^ y₁=y₂

   

RELACIONES ENTRE COMPLEJOS     

z₁+z₂ = z₂+z₁     Conmutativa

(z₁+z₂)+z₃ = z₁+(z₂+z₃)           Asociativa 

z₁(z₂+z₃)= (z₁+z₂)+z₃              Distributiva 

Existencia del cero complejo

Sea z₁=x₁+iy₁     z₂=0+0i

z₁+z₂=(x₁+iy₁)+(0+0i)

         =(x₁+iy₁)

z₂=0

cero complejo

Inverso Multiplicativo

CONJUGADO COMPLEJO 

Z=x-iy

MODULO

 | z | = sqrt(x²+y²)

• Operaciones

Suma-Diferencia

Los complejos cumplen con las propiedades clausurativa, conmutativa, asociativa y el inverso neutro. 

Ej:
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)


Multiplicación

Los complejos cumplen con propiedades conmutativas, distributivas y el inverso negativo.
Ej:
z1*z2=z2*z1


División

• Radicacion y Potencia de un Nro. complejo

Potenciacion
- Teorema de moivre





Radicacion
- Teorema de moivre

- Representación gráfica

• Forma exponencial

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como:
Fórmula de Euler:




Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene

.


Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma