diciembre

• Ecuaciones de Cauchy-Riemman

Sea f(z) una funcion de variable compleja y derivable, entonces:

Existe f `(zo)= Lim(▲z→0) (f(zo+▲z)-f(zo))/▲z

Por lo tanto:

· Re[f´(zo)]= Re[Lim(▲z→0) (f(zo+▲z)-f(zo))/▲z] = u´(x,y)

· Im[f´(zo)]= Im[Lim(▲z→0) (f(zo+▲z)-f(zo))/▲z]= v´(x,y)

→f´(zo)= u´(x,y) =+iv´(x,y)

Entonces:

Si f(zo) cumple con la ECR, entonces se analizara sus derivadas y si estas son continuas, entonces es condición necesaria y suficiente para decir que f´(zo) existe.

• Función Analítica

Una función compleja f(z) es analítica en z0, ssi es derivable para todo z de algún disco o boda abierta D de centro z0:

D: |z-z0| < r 

Propiedades

1. Si f(z)=u(x,y) + iv(x,y) analítica en un dominio D, entonces u ^ v saisfacen la ECR para todo (x,y) en D.

2. Sea f(z) = u(x,y)+iv(x,y). Si u ^ v y sus derivadas parciales son continuas y además satisfacen las ECR, la función f(z) es analítica.

3. Sea f(z)= u(x,y) + iv(x,y) analítica en el dominio D, entonces u ^ v son armónicas en D, es decir, satisfacen:

• Integrales complejas

Para la resolución de las integrales dentro de los números complejos se aplican las reglas y propiedades de la integración en funciones reales. Salvo en funciones eminentemente complejas como el conjugado de z, en las cuales se debe aplicar propiedades y teoremas específicos.

En el caso de integrales indefinidas se presentan ciertas diferencias debido a :

1. Los números reales se presentan en el eje de los x y los integrales se tienen como una aproximación de la suma de Riemann.

2. Los números complejos se representan en el plano complejo, lo cual nos lleva a considerar integrales de linea sobre una curva C sobre el plano complejo en lugar de las sumas de Riemann.

3. En las integrales cerradas se presentan propiedades novedosas y que solo se cumplen para las funciones de variables compleja, asi como por ejemplo la integral de Cauchy.  

 

INTEGRALES INDEFINIDAS

En el caso de que f(z) tenga una antiderivada, se puede evaluar la integral indefinida.

 

Curvas en el plano complejo 

una curva r en el plano complejo , es el conjunto de puntos (x,y) tales que 

de a<t<b 

entonces tenemos una ecuación : r=z(t)=u(t)+iv(t)

Curva suave 

Como x(t) y y(t) son continuas en [a,b] y suponemos que x'(t) y y'(t) existene entonces z'(t) = x'(t)+iy'(t); para todo t que pertence a [a,b] y z'(t) diferente de 0, la curvaγ   es curva suave 

En esta clase se trabajó con la definición de una curva suave o diferenciable (o que no presenta picos) sabiendo que se debe cumplir que z'(t)≠0 para todo t elemento de su dominio.

INTEGRALES DE LÍNEA:

Para estas integrales se reocnocieron 5 propiedades importantes:

• Si gama es una curva suave a intervalos y f(z) es una función continua entonces existe una integral de línea sobre la curva gama.

 

•  La suma o diferencia de  dos integrales de diferentes funciones sobre la misma curva se puede expresar como la interal de la suma o diferencia de las funciones sobre esa curva.

 

• La constante que multiplique a la función de integración puede ser extraida de la integral.

 

• La integral de una función sobre una curva es igual al negativo de la integral sobre el negativo de la curva.

 

• Si gama es una curva suave representada por z=z(t), para un t entre a y b, y f(z) es continua en C, entonces:

 

• Conjunto Simplemente convexo 

D es un dominio simple convexo si solamente si contiene punto de D , en forma practica no tiene huecos :

Longitud de Curva

Teorema de la integral de Cauchy

 Sea f(z) una funcion  es analítica en d , un dominio simplemente convexo , r una curva cerrada simple entonces se cumple que :

Teorema de la deformación

sea f una función analitica en un dominio D, excepto en Zo y sea C y S curvas cerradas simples que encierren a Zo :

                                             

Propiedad 5

Formula de la Integral de Cauchy para derivadas de orden superior

si f es analitica en una dominio D simplemente convexo . Sea r cualquier curva cerrada simple en D que encierre a Zo:

                                                  

• Sucesiones y Series

Las sucesiones y series complejas son similares a las correspondientes sucesiones y series de variable real.

La serie de Laurent es la única exclusiva de los complejos.

Esta serie nos sirve para evaluar integrales complejas y reales.

SUCESIONES

Una sucesión compleja es una función de los naturales en los complejos

Las sucesiones se simbolizan 

                                                  Z_n  o  { Z_n }

Ejemplos

1.  f(n)=  i^{n =} { i⁰,i¹,i²,i³…….iⁿ } 

2. { Z_n }=     

EJERCICIO 

{ Z_n }={1/3+i , 2/5+0i , 3/11+1/9i ..... }

Z_n es convergente Z_n ? 

_i)

_{(indeterminación)}

ii) 

Z_n converge a 0+1/2i

Propiedades

-Sea { Z_n } Xn+i yn y sea L=a+bi
entonces 

-Suponemos de {Zn}  Ly {Wn }  k entonces 

• Series complejas

Sea {Zn} una sucesión de números complejos ,la siguiente expresion 

Se denomina serie infinita de números complejos y se representa por 

Se denomina sucesion de sumas parciales de la serie infinitA

 a:

S1=Z1

S2=Z1+Z2

S3=Z1+Z2+Z3

Sn=Z1+Z2+Z3.....Zn

Si la sucesion {Zn}_n>1 es convergente,es decir 

La convergencia de las series complejas se analiza por la convergencia de sus series reales