noviembre

•  Logaritmos Complejos:

   Sea  z = r e^i&  ;  entonces:

           ln(z) = ln(  r e^iΘ)

           ln(z) = ln(r) + iΘ ln(e)

           ln(z) = ln(r) + iΘ                Valor Principal

           ln(z) = ln(r) + i(Θ+2k)     Valor General

   

   - Propiedades:

      z , w  €  C

- e^z * e^w = e^z+w

- e^z / e^w = e^z-w

- (e^z)^w = e^z*w

- ln(z*w) = ln(z) + ln(w)

- ln(z/w) = ln(z) - ln(w)

- ln(z^k) = k ln(z)  ;   k € R

• Lugares geométricos

Distancia

Si z = a + b i es cualquier complejo, |z| = √ a 2 + b 2 es la distancia del origen a z (visto z como el punto (a, b) en el plano complejo). Si w = c + d i es otro n´umero complejo, entonces

|z − w| = |(a − c) + (b − d)i|

= √(a − c) 2 + (b − d)

es la distancia entre z y w en el plano complejo.

Circulos

Si zo es un numero complejo y r es un numero positivo, la ecuacion

|z − zo| = r

representa aquellos puntos z cuya distancia a zo es r. El lugar geometrico de los puntos z que satisfacen esta condicion es el cırculo de radio r con centro en el punto zo.

Interior de un disco

Si zo es un numero complejo y r es un numero positivo, la ecuacion

|z − zo| < r

representa aquellos puntos z cuya distancia a zo es menor que r. El lugar geometrico de los puntos z que satisfacen esta condicion es el interior del cırculo de radio r con centro en el punto zo. x

Disco

Si zo es un numero complejo y r es un numero positivo, la ecuacion

|z − zo| ≤ r

representa aquellos puntos z cuya distancia a zo es menor o igual que r. El lugar geometrico de los puntos z que satisfacen esta condicion es el interior del cırculo de radio r con centro en el punto zo incluyendo el cırculo mismo.

Rectas

Si z1 y z2 son dos numeros complejos diferentes, la ecuacion

|z − z1| = |z − z2|

expresa que la distancia de z a z1 es igual a la distancia de z a z2. Como lo indica, esto significa que z esta en la bisectriz del segmento que conecta a z1 con z2. Ası la ecuacion |z − z1| = |z − z2| representa la ecuacion de tal recta.

Semiplanos

Si z1 y z2 son dos numeros complejos diferentes, la ecuacion

|z − z1| < |z − z2|

expresa que la distancia de z a z1 es menor que la distancia de z a z2. Como lo indica, esto significa que z esta en el lado donde esta z1 de la bisectriz del segmento que conecta a z1 con z2.

web_grafía:        http://cb.mty.itesm.mx/ma3002/materiales/ma3002-2-02.pdf

• Funciones complejas

Funciones complejas de variable compleja

Recordemos que una función real f de variable real sobre un conjunto de números reales es una función que asigna a un número real x ∈D otro número real y = f(x).

Este concepto se generaliza fácilmente al caso complejo:

Una función compleja de variable compleja f definida sobre un conjunto D de números complejos es una función que asigna a cada número complejo z ∈D otro número complejo w = f(z) y la representamos con la notación f : D→ℂ.

El conjunto D se llama, igual que en el caso de las funciones reales, dominio de f. Igualmente, el conjunto de las imágenes de f se llama imagen de f.

donde:

f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

u y v son funciones de varias variables.



w=f(z)=u+iv

u(x,y) (parte real)
v(x,y) (parte imaginaria)

u y v son funciones de 2 variables reales

• Limites de funciones de variable compleja

-Algunas propiedades

                 
  lim z->zo f(z)=L si solo si Existe δ>0; Para todo Ɛ>0

                   |f(z)-L|< Ɛ entonces |z-zo|<δ

CONTINUIDAD

Se dice que f(z) es continua en C si:

i) Existe f(zo)

ii)Existe el limite de f(z) cuando z tiende a zo

iii) La primera condición es igual a la segunda


TIPOS DE DISCONTINUIDAD

*Evitable.- Cuando la función tiene limite.

*Inevitable.- Cuando la función no tiene limite.

Nota: Si la función es discontinua evitable se deberá redefinir la función.


DERIVADAS